線分の外分点(複素平面)

複素数 $3$\displaystyle{p=\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{y}_{1}i}$ ， $3$\displaystyle{q=\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{2}i}$ に関して，複素平面上の点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({p}\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\text{Q}\left({q}\right)}$ を結ぶ線分 $3$\text{PQ}$ を $3$\displaystyle{m:n}$ に外分する点 $3$\displaystyle{\text{R}\left({r}\right)}$ の複素数 $3$r$ は

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2} - np+mq \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - n\hspace{1}{x}_{1}+m\hspace{1}{x}_{2}+\left({ - n\hspace{1}{y}_{1}+m\hspace{1}{y}_{2} }\right)i \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

となる．

【参考】

■導出

図1

● $3$\displaystyle{m< n}$ の場合

線分 $3$\text{PR}$ の長さは線分 $3$\text{PQ}$ の長さの $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}}$ 倍である．言い換えると，原点 $3$\text{O}$ と点 $3$\displaystyle{\text{T}\left({ p- r }\right)}$ を結ぶ線分 $3$\text{OT}$ の長さは，原点 $3$\text{O}$ と点 $3$\displaystyle{\text{S}\left({ q- p }\right)}$ を結ぶ線分 $3$\text{OS}$ の長さの $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}}$ 倍である．よって

$3$\displaystyle{p- r=\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}\left({ q- p }\right)}$

となる．(複素数の実数倍を参照)

これより

$3$\displaystyle{r=p- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}\left({ q- p }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ m+n }\right)p+m\left({ q- p }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} np- mq \hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - np+mq \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ ･･････(1)

が得られる．

図2

● $3$\displaystyle{m> n}$ の場合

線分 $3$\text{PR}$ の長さは線分 $3$\text{PQ}$ の長さの $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ 倍である．言い換えると，原点 $3$\text{O}$ と点 $3$\displaystyle{\text{T}\left({ r- p }\right)}$ を結ぶ線分 $3$\text{OT}$ の長さは，原点 $3$\text{O}$ と点 $3$\displaystyle{\text{S}\left({ q- p }\right)}$ を結ぶ線分 $3$\text{OS}$ の長さの $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ 倍である．よって

$3$\displaystyle{r- p=\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}\left({ q- p }\right)}$

となる．(複素数の実数倍を参照)

これより

$3$\displaystyle{r=p+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}\left({ q- p }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ m- n }\right)p+m\left({ q- p }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - np+mq \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ ･･････(2)

が得られる．

●(1) ，(2)より

$3$\displaystyle{m> n}$ ， $3$\displaystyle{m< n}$ ，いずれの場合も

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2} - np+mq \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$ ･･････(3)

となる．

(3)に $3$\displaystyle{p=\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{y}_{1}i}$ ， $3$\displaystyle{q=\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{2}i}$ を代入すると

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2} - n\left({ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{y}_{1}i }\right)+m\left({ \hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{2}i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - n\hspace{1}{x}_{1}+m\hspace{1}{x}_{2}+\left({ - n\hspace{1}{y}_{1}+m\hspace{1}{y}_{2} }\right)i \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

となる．

$3$\displaystyle{r=\hspace{1}{x}_{3}+\hspace{1}{y}_{3}i}$ とおくと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{3}=\frac{\hspace{2} - n\hspace{1}{x}_{1}+m\hspace{1}{x}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{3}=\frac{\hspace{2} - n\hspace{1}{y}_{1}+m\hspace{1}{y}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>複素数 >>内分点(複素平面)

最終更新日： 2025年11月25日

線分の外分点(複素平面)

■導出

● の場合

● の場合

●(1) ，(2)より

● $3$\displaystyle{m< n}$ の場合

● $3$\displaystyle{m> n}$ の場合